可求解析解的几类一阶微分方程

我们将形如

$$F(x,y,y')=0$$

的方程称为一阶微分方程，而只有以下特殊的几种类型才可求解析解。

1. 可分离变量的一阶微分方程

给定 $g(x),h(y)$ 分别是 $x,y$ 的连续函数，且 $h(y)$ 不恒为零，则将形如

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$

的方程称为可分离变量的一阶微分方程。

通过两边各自统一自变量后两边同时积分，有：

$$\begin{aligned} \frac{dy}{h(y)}&=g(x)dx\\ \Rightarrow \int\frac{dy}{h(y)}&=\int g(x)dx \end{aligned}$$

记 $G(x),H(y)$ 为 $g(x),\frac{1}{h(y)}$ 的原函数，则有通解：

$$H(y)=G(x)+C$$

2. 零次齐次方程

记 $n$ 次齐次函数为：

$$f(tx,ty)=t^nf(x,y)$$

而满足该条件的方程

$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

称为 $n$ 次齐次方程。

对于零次齐次方程 ($n=0$)，有

$$\begin{aligned} \ \ \ \ \ \ \frac{dy}{dx}&=f(\frac{y}{x}) \ \ ,\text{记}t=\frac{y}{x},\text{则}y=tx\\ \Rightarrow\frac{dy}{dx}&=\frac{d(tx)}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}=f(t)\\ \Rightarrow x\frac{dt}{dx}&=f(t)-t\\ \Rightarrow\frac{dt}{f(t)-t}&=xdx\\ \Rightarrow\int\frac{dt}{f(t)-t}&=\int \frac{1}{x}dx \quad\\ \Rightarrow\int\frac{dt}{f(t)-t}&=\ln{|x|}+C \end{aligned}$$

从而求出通解。

3. 一阶线性方程

称如下形式的方程为一阶线性方程：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$$

当 $f(x)=0$ 时称该方程为齐次的，当 $f(x)\neq0$ 时称该方程是非齐次的。

对于齐次一阶线性方程，可以直接通过分离变量将其通解求出，为：

$$y=Ce^{-\int P(x)dx}$$

而非齐次一阶线性方程则采用常数变易法，有：

$$\begin{aligned} \frac{d(C(x)e^{-\int P(x)dx})}{dx}+P(x)(C(x)e^{\int P(x)dx})&=f(x)\\ \Rightarrow \frac{dC(x)}{dx}&=f(x)e^{\int P(x)dx}\\ \Rightarrow C(x)&=\int f(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\\ \Rightarrow y&=e^{-\int P(x)dx}\left(\int f(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right) \end{aligned}$$

得到非齐次方程通解 $y=e^{-\int P(x)dx}\int f(x)e^{\int P(x)dx}dx+Ce^{-\int P(x)dx}$ (注意：公式最终形式应包含 $C$ 项乘以 $e^{-\int P(x)dx}$，此处进行了修正以保证完整性)。

可求解析解的几类二阶微分方程

1. 可降阶的二阶微分方程

对于这一类微分方程，我们可以将其降为一阶，然后使用分离变量法求解。

不显含未知函数 $y$ 的二阶微分方程

$$F(x,y',y'')=0$$

令 $p=y'$，则 $y''=\frac{dp}{dx}$。代入原方程，有：

$$F(x,p,\frac{dp}{dx})=0$$

降阶为一阶微分方程。

不显含自变量 $x$ 的二阶微分方程

$$F(y,y',y'')=0$$

令 $p=y'=\frac{dy}{dx}$，则 $y''$ 可以表示为：

$$y''=p'=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$$

于是原函数变为：

$$F(y,p,p\frac{dp}{dy})=0$$

降阶为一阶微分方程。

2. 二阶线性微分方程

称形如

$$\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)$$

的方程称为二阶线性微分方程。

当 $f(x)=0$ 时称该方程为齐次的，当 $f(x)\neq0$ 时称该方程是非齐次的。

根据以下定理，可由常数变易法求出二阶线性微分方程解析解。

定理 1

若 $y_1(x),y_2(x)$ 为齐次方程两解，则其线性组合 $y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ 也为齐次方程解。

定理 2

若 $y(x)$ 是齐次方程的解，$y_0(x)$ 是非齐次方程的一个特解，则 $y(x)+y_0(x)$ 也为非齐次方程解。

定理 3

设 $f_1(x),f_2(x)$ 是区间上的可导函数，记

$$W(x)= \left | \begin{matrix} f_1(x)&f_2(x)\\ f_1'(x)&f_2'(x) \end{matrix} \right|$$

为Wronski 行列式。

定理 4

若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 为齐次方程的线性无关解，则 $W(x)\neq0$。

定理 5

若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 为齐次方程的线性无关解，则该方程的任意解可表示为 $y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$，称 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 为齐次方程的一个基本解组。

定理 6 (Liouville 公式)

$$W(x)=W(x_0)e^{-\int_{x_0}^xP(t)dt}$$

所以如下使用常数变易法求解非齐次方程特解：

$$\begin{aligned} &\textbf{设}y_1\textbf{和}y_2\textbf{为齐次方程的基本解组，非齐次方程特解形式设为}y_0=c_1(x)y_1+c_2(x)y_2\\ &\textbf{计算一阶导数：}y_0'=c_1'y_1+c_1y_1'+c_2'y_2+c_2y_2'\\ &\textbf{施加辅助条件：令}c_1'y_1+c_2'y_2=0\text{，则}y_0'=c_1y_1'+c_2y_2'\\ &\textbf{计算二阶导数：}y_0''=c_1'y_1'+c_2'y_2'+c_1y_1''+c_2y_2''\\ &\textbf{代入原非齐次方程}y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\\ &\Rightarrow c_1'y_1'+c_2'y_2'+c_1(y_1''+P(x)y_1'+Q(x)y_1)+c_2(y_2''+P(x)y_2'+Q(x)y_2)=f(x)\\ &\textbf{由于}y_1, y_2\textbf{是齐次解，括号项为}0\\ &\Rightarrow c_1'y_1'+c_2'y_2'=f(x)\\ &\textbf{联立方程组：}\begin{cases} c_1'y_1'+c_2'y_2'=f(x)\\ c_1'y_1+c_2'y_2=0 \end{cases}\\ &\textbf{解得：}c_1'=-\frac{y_2f(x)}{W(x)},c_2'=\frac{y_1f(x)}{W(x)}\\ &\Rightarrow c_1=-\int_{x_0}^x\frac{y_2(t)f(t)}{W(t)}dt,c_2=\int_{x_0}^x\frac{y_1(t)f(t)}{W(t)}dt \quad \\ &\Rightarrow y_0=y_1 c_1 + y_2 c_2\\ &\Rightarrow y_0=y_1(x) \left(-\int_{x_0}^x\frac{y_2(t)f(t)}{W(t)}dt\right)+y_2(x) \left(\int_{x_0}^x\frac{y_1(t)f(t)}{W(t)}dt\right)\\ &\Rightarrow y_0=\int_{x_0}^x\frac{y_1(t)y_2(x)-y_2(t)y_1(x)}{W(t)}f(t)dt \end{aligned}$$

由定理 2，可得非齐次方程通解 $\widetilde{y}=y_0+y=y_0+c_1y_1+c_2y_2$。